您有权依据《劳动合同法》第八十二条的规定要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资。该法条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果您在公司工作期间未签订劳动合同且被辞退，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，确认劳动关系后，要求公司支付这段时间的双倍工资。
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从法律角度，您应先收集工作证据，如工作记录、聊天记录等，证明与公司存在劳动关系。然后，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，确认劳动关系。仲裁成功后，可依据《劳动合同法》要求公司支付双倍工资、经济补偿或赔偿。若仲裁不成，可向法院提起诉讼。
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除了双倍工资，您还可以要求经济补偿或赔偿。具体操作如下：若公司无故辞退您，可请求经济补偿；若因公司违法辞退导致您遭受损失，可请求赔偿。需先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁确定劳动关系，再提出相应补偿或赔偿请求。

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